弾性衝突 - くもしかつかまない

さて、実験の課題でこんなのが出ました。

問題

運動エネルギーＥの粒子１（質量m1）が静止している粒子2（質量m2）に衝突し、弾性散乱の結果粒子１が散乱角θで散乱されたとき、散乱後の粒子１の運動エネルギーＥ'をE,m1,m2,θを用いて表せ

問題自体は、よくある弾性衝突の問題。跳ね返り係数が絡まないだけまだマシでしょうか。
さて、問題を図示してみると次のようになります。

黒いおおきな○が粒子1．
θは分かっていますが、φは良く分かりません。したがってこのφをθとm1,m2で表すことが目標となりそうです。
あ，軸は粒子1のもともとの進行方向をx軸に．そこから90度反時計周りに回転したのをy軸としましょう．
衝突前の粒子1の速さを $v_{b}$ 、衝突後の粒子1の速さを $v_a$ ,衝突後の粒子2の速さを $V$ と置きます。
さて弾性衝突の仮定(運動量保存則)から，

$m_1v_b= m_1v_a\cos(\pi-\theta) + m_2 V\cos{\phi}$ …(1)
$0 = m_1v_a\sin(\pi-\theta) - m_2V\cos\phi$ …(2)

であり，もう一つ弾性衝突の仮定(エネルギーの保存則)から，

$E^{\prime}=E-\frac{1}{2}m_2V^{2}$ …(3)

です．でまぁ，機械的に(1)× $\sin\theta$ -(2)× $\cos\theta$ してやると,
$V=\frac{m_1v_b\sin\theta}{m_2\sin(\theta-\phi)}$
が出てきますから，(3)に突っ込めば

$E^{\prime}=E-\frac{m_1\sin^{2}\theta}{m_2\sin^{2}(\theta-\phi)}E$
すなわち
$\frac{E^{\prime}}{E}=1-\frac{m_1\sin^{2}\theta}{m_2\sin^{2}(\theta-\phi)}$ …(4)
が成り立ちます．

でまぁここでくじけずに今度は(1)× $\sin\phi$ +(2)× $\cos\phi$ をしてみると，
$v_a=v_b\frac{\sin\phi}{\sin(\theta-\phi)}$
が得られますから，
$\frac{E^{\prime}}{E}=\frac{\frac{1}{2}mv^{2}_a}{\frac{1}{2}mv^{2}_b}==\frac{\frac{1}{2}mv^{2}_b}{\frac{1}{2}mv^{2}_b}\left(\frac{\sin\phi}{\sin(\theta-\phi)}\right)^{2}=\left(\frac{\sin\phi}{\sin(\theta-\phi)}\right)^{2}$

でこれを(4)に代入すると，
$\left(\frac{\sin\phi}{\sin(\theta-\phi)}\right)^{2}=1-\frac{m_1\sin^{2}\theta}{m_2\sin^{2}(\theta-\phi)}$
から頑張って計算すると（笑），（倍角，半角公式ぐらいしか使いません）
$\frac{m_1}{m_2}=\frac{\sin(\theta-2\phi)}{\sin\theta}$
が得られます．

で，どうせ衝突された粒子の方が圧倒的に重いと仮定すると[tex:m_1<