ガンマ関数で遊んでみる - くもしかつかまない

ガンマ関数を用いてlogのラプラス変換を導いてみたいと思います。
今回はまずプサイ関数の導出まで

まず、ガンマ関数の定義

ガンマ関数の定義

$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{z-1}dt$

で次の関係式は自明（単なる計算）

ガンマ関数の関係式

$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$
$\Gamma(1) = 1$

次がちょっとややこしいです。

オイラーの公式

$\frac{1}{\Gamma(z)}=\lim_{n \to \infty}\frac{z}{n^z}\prod^{n}_{m=1}(1+\frac{z}{m})$

これの証明は長ったらしいので省略。差の極限を考えればはさみうちの原理の範囲で示すことができます。
これを一旦認めれば、変数の取替えだけで次の公式を導くことができます。

Weierstrassの公式

$\frac{1}{\Gamma(z)} = ze^{z\gamma}\prod^{\infty}_{m=1}e^{-\frac{z}{m}}(1+\frac{z}{m})$
ただし
$\gamma = \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{2}+etc+\frac{1}{n}-\ln{n})$

これの対数をとり微分することでガンマ関数の微係数を級数表示することが可能になりました。それが以下のプサイ関数。

プサイ関数

$\Psi(z) = \frac{\Gamma(z)^{\prime}}{\Gamma(z)} = -\gamma +(-\frac{1}{z}) + z\sum^{\infty}_{m=1}\frac{1}{m(m+z)}$

これにz=１を代入するとlogtのラプラス変換を導くことができますが、これは次の話。次回はlogtのラプラス変換に潜む問題意識とそれの解決策です。

追記：さらりと $\sum^{\infty}_{m=1}\frac{1}{m(m+z)}$ が収束してあまつさえ１になると書いていますが本当でしょうか。検証してみます。

$a_m = \frac{1}{m(m+1)}$ とおいて
$\frac{a_{m}}{a_{m+1}} = 1 + \frac{2}{m}$
でmの-1次の項をみると2>1よりこの無限級数は収束します。
で $a_m = \frac{1}{m} - \frac{1}{m+1}$ よりm→∞においては1に収束します。よかったよかった。

もう少し一般化して、次の命題

正項級数 $\sum^{\infty}u_n$ において
$\frac{u_n}{u_{n+1}}= 1 + \frac{k}{n} +$ それ以下の微小項
となった。このとき正項級数はk>1なら収束、k<=1なら発散

に証明を与えます。

証明

k>s>1なるsをとってきます。
$v_n = \frac{1}{n^s}$ と置けば、
$\frac{v_n}{v_n+1} = 1 + \frac{s}{n} + hogehoge$
k-s>0であることから十分大きなnに関しては
$\frac{u_n}{u_{n+1}}>\frac{v_n}{v_{n+1}}$
$\sum^{\infty}\frac{1}{n^s}$
は収束しますから収束です。２つ上の式が成り立てばuが収束するという証明は $A=\frac{u_1}{v_1}$ とおけば一行で完結します。