イプシロンスプリッティング - くもしかつかまない

例えば、数学（物理だっけな？）の世界にはイプシロンスプリッティングという技法があり
$\ddot{y} - 2y^{\prime} - y = 0$
を解くときに,これだけだと特性方程式が
$(\lambda-1)^2=1$
と縮退し、困ってしまう。（もちろんこの解は $C_1e^x+C_2xe^x$ ではあります $\because$ 元の式を満たす）（が初見では絶対思いつきません。）
ここで少しずらした方程式、
$\ddot{y}-(2+\epsilon)y^{\prime}-(1+\epsilon)y = 0$
を考えると、特性方程式は
$\lambda^2-(2+\epsilon)\lambda -(1+\epsilon) = 0$
となり基本解
$\lambda = 1,1+\epsilon$
が見つかる。
このとき
$y_\epsilon=\frac{e^x-e^(1+\epsilon)}{\epsilon}$
とおくと、これも元の方程式の解です。
で、もともとεは0だったのですから、これの0への極限をとると
$lim_{\epsilon \to 0}y_\epsilon = \left.\frac{df(\lambda)}{d\lambda}\right|_{\lambda=1}=xe$
となりなんだか理論チックに上手く求めることができます。