ザリスキ位相の強さ - くもしかつかまない

というわけで、久しぶりに数学の話題です。今回はめったに見ることがないザリスキ位相について

まずはザリスキ位相の定義です。

$\large C^{n} = \{ \large z=(z_{1},z_{2},...,z_{n};z_{i}\in\large C(1 \le i \le n))\}$ を考えます。
複素変数のn変数多項式
$f(t) = f(t_{1},t_{2},...,t_{n})$
の全体をC[t]と書きます。
C[t]の元f=f(t)の零点の全体、すなわち $\{z \in C^{n};f(z)=0\}$ をZ(f)と書きます。
このとき
$c=\{Z(f);f \in \large C$ [t] $\cup\{\phi\}\cup\{\large X\}\}$
とすると、cは閉集合として $C^{n}$ の中に位相を定めます。
これをザリスキ位相といいます。

実際に位相が入っているかどうか確認していきましょう。
(1)この集合の任意の合併は確かに元の集合に含まれています
(2) $\large A ,\large B \in c$ を取ってくると、 $:\large A \cup \large B \in c$
(2)について実際 $Z(f) \cup Z(g) = Z(fg)$ です。まずZ(f)から元zを取ってくると(fg)(z) = 0ですし(Z(g)についても同様)、逆にZ(fg)から元zを取ってくると、f(z)g(z) = 0なので等式は成り立ちます。
※fg(z) = f(z)g(z)に注意。f・g(z)ではないです。
(3)空集合、全集合はcupで定めています。　